Felix Genn wurde in Burgbrohl geboren und wuchs in Wassenach in der Nähe der Benediktinerabtei Maria Laach in Rheinland-Pfalz auf. Sein Abitur machte er in Andernach, woraufhin er Theologie in Trier und Regensburg studierte. 1976 wurde er zum Priester geweiht. Als Kaplan in Bad Kreuznnach sammelte er erste Erfahrungen in der Seelsorge. 1978 wurde er Subregens am Bischöflichen Priesterseminar in Trier.
Er promovierte in katholischer Theologie mit einer Arbeit über den heiligen Augustinus. 1985 wurde er Spiritual und war damit für die geistliche Begleitung und Ausbildung der Priesteramtskandidaten zuständig. Von 1994 bis 1997 nahm Felix Genn einen Lehrauftrag für Christliche Spiritualität an der Theologischen Fakultät Trier wahr. Daraufhin übernahm er die Leitung des Studienhauses St. Lambert in Lantershofen, einem Seminar für spätberufene Priesteramtskandidaten.
1999 ernannte Papst Johannes Paul II. ihn zum Titularbischof von Uzali und Weihbischof in Trier. 2003 wurde er zum "Ruhrbischof" in der Diözese Essen. Papst Benedikt XVI. ernannte ihn am 19. Dezember 2008 zum Bischof von Münster. Er ist der 75. Nachfolger des heiligen Liudger. 2013 wurde Felix Genn in die Kongregation für die Bischöfe in Rom berufen.