Gröber stammte aus einer Meßkircher Handwerkerfamilie. Auf Knabenkonvikt und Gymnasium in Konstanz folgte das Theologiestudium in Freiburg. Schließlich der Wechsel ins renommierte Germanicum-Seminar nach Rom, wo er 1897 zum Priester geweiht wurde und 1898 promovierte.
Gröber war Gemeindepfarrer in Ettenheim und Karlsruhe, Münsterpfarrer in Konstanz, dann Domkapitular in Freiburg und einer der ersten Rundfunkprediger. Auch dank seiner Kontakte zum damaligen Papstbotschafter und späteren Papst Eugenio Pacelli folgte 1931 die Ernennung zum Bischof von Meißen.
Schon ein Jahr später wechselte Gröber als Freiburger Erzbischof in den Südwesten. In einer kirchenrechtlich umstrittenen und einmaligen Aktion, weil das Freiburger Domkapitel in dieser Personalie schlicht übergangen wurde. (kna)