Wübbe wurde am 23. Februar 1966 in Lengerich (Emsland) geboren. Sein Abitur machte er am Gymnasium Leoninum im benachbarten Handrup. Ab 1985 studierte Johannes Wübbe Theologie in Münster und Freiburg. 1993 wurde er im Osnabrücker Dom vom damaligen Bischof Ludwig Averkamp zum Priester geweiht. Anschließend war Wübbe Kaplan in Osnabrück und Meppen.
Im Jahr 2000 wurde er zum Jugendseelsorger des Bistums ernannt, gleichzeitig war er auch Präses des Bundes der Deutschen Katholischen Jugend (BDKJ) im Bistum Osnabrück. Im September 2010 wurde Wübbe Pfarrer der Pfarreiengemeinschaft Spelle, Schapen, Lünne und Venhaus.
Als Weihbischof nahm Johannes Wübbe 2018 als einer von vier Delegierten aus Deutschland an der Weltbischofssynode zum Thema „Jugend“ in Rom teil. Im Herbst 2021 wählten ihn die deutschen Bischöfe zum Vorsitzenden der „Kommission XII – Jugend“ der Deutschen Bischofskonferenz. Bischof Franz-Josef Bode ernannte ihn zum 1. Dezember 2021 zum Domdechanten im Domkapitel Osnabrück.
Da Weihbischöfe als „Titularbischöfe“ auf die Titel früherer Bischofssitze geweiht werden, ist Wübbe seit seiner Weihe 2013 „Titularbischof von Ros Cré“, einem ehemaligen Bistum in Irland.
