Markus Bosbach wurde am 18. April 1969 geboren und am 23. Juni 1995 zum Priester geweiht. Nach seiner Zeit als Kaplan wurde er Pfarrer in Essen-Kettwig. 2008 wechselte er als Pfarrer und Kreisdechant nach Mettmann.
Im September 2012 übernahm Bosbach die Leitung der Hauptabteilung Seelsorge im Erzbischöflichen Generalvikariat und wurde ein Jahr später von Papst Benedikt XVI. zum "Kaplan Seiner Heiligkeit" mit dem Titel Monsignore ernannt. 2015 folgte Bosbach Prälat Hans-Josef Radermacher als Leiter der Hauptabteilung Seelsorgebereiche und als stellvertretender Generalvikar.
Am 2. Dezember 2018 wurde Monsignore Markus Bosbach in das Kapitelsamt eingeführt. Er nimmt dort jenen Platz ein, der durch den Tod von Weihbischof Manfred Melzer freigeworden war. Zuvor ernannte der Kölner Erzbischof Rainer Maria Kardinal Woelki den stellvertretenden Generalvikar zum Domkapitular im September 2018.
Durch die Umstrukturierung der Verwaltung des Erzbistums Köln wurde die bisherige Abteilung Seelsorgebereiche zum 1. April 2021 aufgelöst und eine neue Koordinierungsstelle aufgebaut. Sie entwickelte die neuen Pastoralen Einheiten des Erzbistums. Bosbach war der Leiter dieser Koordinierungsstelle.
Vom Posten des stellvertretenden Generalvikars wurde Bosbach im Juni 2023 entpflichtet, er hatte den Erzbischof zuvor darum gebeten. Seit September 2024 ist Bosbach Pfarrverweser in der Pfarrei Heiligen Dreifaltigkeit, Düsseldorf Derendorf/Pempelfort.
Der Domkapitular hat eine Leidenschaft für Musik, er ist seit 2017 Präses des Diözesan-Cäcilien-Verbands Köln, ein Chorverband der katholischen Kirche, der sich um Kirchenmusik kümmert.
